柯西方程(高等数学在整个数学中是什么等级的难度)

柯西方程，高等数学在整个数学中是什么等级的难度？

明月几时有，把酒问青天，不知天上宫阙，可否有高树，树之高，不见其顶也，又其上，则黯然飘渺，不可及其层数矣，愈其上，则挂的人越多……

不知道你是否也在上大学之前听过类似的言论，大学有棵树，叫做高树（数），上面挂了很多人，亦或是随机过程随机过，概率统计看概率……

对于理工科学生来说，高数虐我千百遍，依然还要待高数如初恋，只因为，挂一科高数，等于挂两门其他的课程的学分，只因为，如果高数学不会，大二大三的专业课也无法进行。提起学高数的意义，最开始是为了拿到那个学分，后来才知道，原来很多课程都是高数作为基础的……

可是无论如何，高数终究是要学的，逃避是不可能的事。

早在公元前的希腊文明中，那时候的智者就已经表现出对数学的极大地敬畏之心，尤其以毕达哥拉斯学派为甚，以至于提出了“万物皆数”的理念。在那个时代，数学还带着一种哲学的味道，哲学家或是数学家都想用完美的数来解释这个世界和宇宙。而后很多文明的诞生与发展，数次工业革命的爆发何曾离开过数学的身影，可以说，没有数学人类文明便不会如此的繁荣昌盛。

就现实而言，当下的哪一门学科的发展能离开数学？物理学，化学，计算机，金融学，生物工程等等，这些学科的极大发展往往需要依赖于相关数学模型和数学原理的完备而实现。就我们现阶段的学习而言，没有良好的数学基础想在理工科领域内混的风生水起几乎是不可能的。

作为一个过来人，今天我就说说关于高数的点滴看法。毕竟在上大学时，笔者几乎看完学校图书室数学类比较知名图书100多本，记了笔记16大本（冲着考研），至今还保留有，每每看到这些笔记很是感慨啊。为了使大家了解 “ 高等数学 ” 在数学中的地位，我们简要地介绍一点数学的历史。

如上图，了解数学的发展阶段，就知道了高等数学在数学发展过程中的地位，微积分(Calculus)，即高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分是以变量与变量之间的关系(即函数)为研究对象，所用的主要工具是极限。微积分最重要的思想就是“微元”和“无限逼近”。

高数为什么叫高数？

有人作了一个粗浅的比喻：如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是 “ 高等分析、高等代数、高等几何 ” （ —— 它们被统称为高等数学）。这个粗浅的比喻，形象地说明这 “ 三高 ” 在数学中的地位和作用，而微积分学在 “ 三高 ” 中又有更特殊的地位。学习微积分学当然应该有初等数学的基础，而学习任何一门近代数学或者工程技术都必须先学微积分。

英国科学家牛顿和德国科学家莱布尼茨在总结前人工作的基础上各自独立地创立了微积分，与其说是数学史上，不如说是科学史上的一件大事。

恩格斯指出： “ 在一切理论成就中，未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。 ” 他还说； “ 只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。 ”

美国著名数学家柯朗指出：“微积分，或曰数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具…这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶。”

数百年来，在大学的所有理工类、经济类专业中，微积分总是被列为一门重要的基础理论课。

时至今日，在大学的所有经济类、理工类专业中，微积分总是被列为一门重要的基础理论课。

高等数学有哪些特点？

高等数学有三个显著的特点：高度的抽象性；严谨的逻辑性；广泛的应用性。

（ 1 ）高度的抽象性

数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同具体的对象联系起来。在数学的抽象中只留下量的关系和空间形式，而舍弃了其他一切。它的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。

（ 2 ）严谨的逻辑性

数学中的每一个定理，不论验证了多少实例，只有当它从逻辑上被严格地证明了的时候，才能在数学中成立。在数学中要证明一个定理，必须是从条件和已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出结论。

（ 3 ）广泛的应用性

高等数学具有广泛的应用性。例如，掌握了导数概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等等经济量； …… 。掌握了定积分概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不规则立体的体积等等几何量；就可以用它来刻画和计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体的重心等等物理量；就可以用它来刻画和计算总产量、总成本等等经济量。

感慨与反思

善于发现数学的美，或许我们就会兴趣盎然探寻它，一首小诗送给大家

拉格朗日，

罗尔街旁，

守望柯西的忧伤；

若思想有界，

爱已被迫收敛，

感情的定义域内连续。

洛必达的终结，

解不开泰勒的心结，

是否还在麦克劳林的彷徨中独自徘徊。

我们拿生命的定积分，

丈量感情的微分，

换来青春的不定积分，

前方是否可导，

等待一生的莱布尼茨。

法国数学家笛卡尔指出：“没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索”。学习必须讲究方法，但任何学习方法都不是惟一的。希望同学们能够尽快适应大学的学习生活掌握正确的学习方法，培养能力，提高综合素质。

柯西不等式谁写的？

柯西不等式是法国著名数学家柯西发现证明的。科西是法国伟大的数学家。他在研究微积分的时候发现了这个著名的不等式。他是数学分析严格化的奠基人。在微分方程，无穷级数，数论。数学物理，复变函数等方面做出了突出贡献。是法国最多产的一位数学家。

函数在区域内解析的充分必要条件？

函数解析的充要条件：

1、f'(z)=df/dz唯一存在。

f'(z)=(∂u/∂x)+(∂v/∂x)i=(∂v/∂y)-(∂u/∂y)i。

2、满足C-R方程（柯西黎曼方程）—(∂u/∂x)=(∂v/∂y)(∂v/∂x)=-(∂u/∂y)。

同部偏导相等，异部偏导相反。

区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。

第一类曲线积分计算公式？

第一类曲线积分是沿着一条曲线对向量场进行积分的过程，可以用以下公式来计算：

∫C F·ds

其中，C是一条可求长曲线，F是一个连续可微的向量场，ds表示弧长元素。

要计算第一类曲线积分，可以按照以下步骤进行操作：

确定曲线C的参数化形式，通常采用向量函数形式表示。例如，C可以表示为r(t) = <x(t), y(t), z(t)>。

计算曲线的弧长元素ds，可以采用下列公式：

ds = ||r'(t)||dt

其中，r'(t)表示r(t)的导数。

将F表示为F(x,y,z) = <P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)>的形式。

将F与弧长元素ds进行点积运算，得到F·ds，可以表示为：

F·ds = P(x(t),y(t),z(t))dx + Q(x(t),y(t),z(t))dy + R(x(t),y(t),z(t))dz

将F·ds代入曲线积分公式中，得到：

∫C F·ds = ∫a,b [P(x(t),y(t),z(t))dx/dt + Q(x(t),y(t),z(t))dy/dt + R(x(t),y(t),z(t))dz/dt] dt

其中，a和b分别表示曲线C的参数化区间。

对上式进行积分计算，得到曲线C上F的第一类曲线积分的值。

需要注意的是，在计算第一类曲线积分时，曲线的参数化形式和向量场F的连续可微性非常重要。此外，计算中还需要注意符号和单位的问题。

复变函数有用吗？

有用。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

复变函数论的发展简况

复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。

后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。

比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

复变函数论的内容

复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。

如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。

黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。

留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。

把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。

广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。

从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。